Extremum d'une fonction :
Soit \(f:I\to\Bbb R\) définie sur un intervalle \(I\)
On dit que \(x_0\) est un point critique si \(f'(x_0)=0\)
La fonction admet un maximum local en \(x_0\) si il existe un intervalle ouvert \(J\) contenant \(x_0\) tel que $$\forall x_0\in I\cap J,f(x)\leqslant f(x_0)$$
La fonction admet un minimum local en \(x_0\) si il existe un intervalle ouvert \(J\) contenant \(x_0\) tel que $$\forall x_0\in I\cap J,f(x)\geqslant f(x_0)$$
Si \(f\) admet un maximum ou un minimum local en \(x_0\), on dit que \(f\) admet un extremum local
(
Maximum local,
Minimum local,
Extremum d'une fonction)
Théorème :
Soit \(I\) un intervalle ouvert et \(f:I\to\Bbb R\) une fonction dérivable
Si \(f\) admet un extremum local en \(x_0\), alors \({{f'(x_0)}}={{0}}\)
(
Intervalle)
Théorème :
Soit \(f:I\to\Bbb R\) et soit \(x_0\in{{\mathring I}}\)
Supposons que \(f\) soit dérivable en \(x_0\)
Si \(f\) admet un extremum local en \(x_0\), alors $${{f'(x_0)}}={{0}}$$
(
Intérieur d'un intervalle,
Dérivée - Dérivation)
Démonstration : ^[$$\begin{align}&\text{quitte à changer }f\text{ en }-f,\\ &\text{ supposons que }f\text{ admette un maximum local en }x_0:\\ &\exists\delta\gt 0,\forall x\in]x_0-\delta,x_0+\delta[\,\cap\,I,f(x)\leqslant f(x_0)\\ \\ &\text{quitte à réduire }\delta,\text{ on peut supposer que }]x_0-\delta,x_0+\delta[\subset I\\ &\text{donc }\forall x\in]x_0-\delta, x_0+\delta[,f(x)\leqslant f(x_0)\\ \\ &\text{soit }x\in]x_0,x_0+\delta[,\text{ on a : }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leqslant0\\ &f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\underset\gt \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leqslant0\\ &\text{soit }x\in]x_0-\delta,x_0[,\text{ on a : }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geqslant0\\ &f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\underset\lt \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geqslant0\\ \\ &\text{donc }f'(x_0)\leqslant0\text{ et }f'(x_0)\geqslant0\\ &\text{d'où }f'(x_0)=0 \end{align}$$ (
Limite à gauche - Limite à droite)]
Lorsque \(f'(x_0)=0\), alors...- \(f\) admet un maximum local en \(x_0\) si \(f''(x_0)\leqslant 0\)
- \(f\) admet un minimum local en \(x_0\) si \(f''(x_0)\geqslant 0\)
Théorème des extrema locaux - Caractérisation de MongePrincipe de Fermat
Exemples d'extrema
Point selle
Point critique dégénéré 
